Implizite Abbildung/(x,y) nach x^2-y^3/Faser überall stetig bijektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt ${}P=(x,y)$ lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt ${}P=(x,y)$ eine offene Umgebung ${}(x,y)\in U$, ein offenes Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und eine stetige Bijektion

$I\longrightarrow U\cap F_{P},$

gibt (wobei ${}F_{P}$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$ bezeichnet), deren Umkehrabbildung

ebenfalls stetig ist.

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