Wir möchten zeigen, dass eine komplex differnzierbare Funktion in jedem Punkt durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Dazu werden wir
die Integralformel von Cauchy
dahingehend verallgemeinern, dass nicht nur der Wert von
in
durch ein den Punkt umlaufendes Wegintegral zu einer geeigneten Differentialform festgelegt ist, sondern auch die übrigen Koeffizienten in der Potenzreihe. Dies ergibt sich mit Hilfe der geometrischen Reihe.
Für
besitzt die
geometrische Reihe
das Konvergenzverhalten
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=0}^{\infty }z^{i}={\frac {1}{1-z}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281acfaefe64360a39828a531a53bbff70b7172d)
Wir schreiben
die Integralformel von Cauchy
als
-
![{\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8dfd53b9e46cac72dc02ed3d7935869a8c8dae)
um zu betonen, dass wir an der Abhängigkeit von
von
interessiert sind. Den Integranden schreiben wir als
-
![{\displaystyle {}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {w}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01273b60bae09b116de27f0ebf17011d12a81bd7)
Da in der Integralformel vorausgesetzt wird, dass
im Innern des Kreises liegt und
auf dem Rand, ist
und daher kann man auf den zweiten Faktor des Integranden die Formel der geometrischen Reihe, also
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16306414a401e5a33a62965ed41dd7e4fd681150)
anwenden, bzw.
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{w-z}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{w^{k+1}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591a111f6d0fd49356eca0d73c456e59289ec86d)
Zur Notationsvereinfachung sei
.
Nach
der Integralformel
gilt für jedes
-
![{\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978e60bc57f3e2024a67dd1f81d849cb8061e1a0)
mit einem einfachen Umlaufweg
-
um
in
. Nach
Fakt
gilt auch
-
![{\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54f3c975f7c40ceccdb17e344bbd72588cd03b6)
mit einem Umlaufweg um
in
, wobei
gelten und
im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als
-
![{\displaystyle {}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e512c81b2844b4dc04fb8c26d0de36b6661f18c)
Hierbei ist
auf dem Kreis
(bzw.
auf dem Intervall)
beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes
absolut
und
(als Funktion in
)
gleichmäßig
gegen die Grenzfunktion. Nach
Fakt
(angewendet auf Real- und Imaginärteil),
kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8da19ab1d1ec9092d80cc12780c577fbe0c9eea)
Da dies für jedes
im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von
sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)