Es sei
derart, dass
-
![{\displaystyle {}B\left(a,s\right)\subseteq B\left(P,r\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa193850c2ea933d716b2088a94ebadc3edc528)
ist. Die Funktion
ist dann auf
definiert und holomorph. Wir können daher
Fakt
anwenden und erhalten
-
![{\displaystyle {}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba905c76e45a97a99e05ff2439f857df63c512c6)
wobei
der Kreisweg um
mit Radius
sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine
gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen
ist. Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz+\int _{\delta _{s}}{\frac {f(a)}{z-a}}dz\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ca7f635bec823278969508ba416d517c8c8b80)
Der Differenzenquotient
konvergiert für
gegen
gegen die Ableitung
. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von
und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach
Fakt
gegen
, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von
wegen
Beispiel
gleich
![{\displaystyle {}2\pi {\mathrm {i} }f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68c81b1de66edfc6ae15e048b26812767d5900c)
.