Integration/Eine Variable/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Beispiel

Wir wollen das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {1+t^{2}}}^{3}}}\,dt$ berechnen. Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{u}{\frac {1}{{\sqrt {1+t^{2}}}^{3}}}\,dt&=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,0\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,u\,}{\frac {1}{\cosh ^{2}s}}\,ds\\\end{aligned}}$

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{\cosh ^{2}s}}$ ist ${}{\frac {\sinh s}{\cosh s}}$. Die untere Intervallgrenze ergibt den Wert ${}0$, für die obere Intervallgrenze ergibt sich

${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow \infty }\,{\frac {\sinh s}{\cosh s}}=\operatorname {lim} _{s\rightarrow \infty }\,{\frac {e^{s}-e^{-s}}{e^{s}+e^{-s}}}=1\,.$

Daher hat das uneigentliche Integral der Wert ${}1$.