Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Differenzierbarkeit von ${}f(t,x)$ nach ${}x$ gibt es zu jedem ${}(s,p)\in I\times J$ nach Fakt eine in ${}x$ stetige Funktion ${}r_{s}(x)$ mit ${}r_{s}(p)=0$ und mit

${}f(s,x)=f(s,p)+{\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\right)}(x-p)+r_{s}(x)(x-p)\,.$

Wir setzen

${}r(s,x)=r_{s}(x)\,.$

Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen ${}s$ und ${}x$ in jedem Punkt stetig ist. Bei ${}x\neq p$ kann man

${}r(s,x)={\frac {f(s,x)-f(s,p)}{x-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\,$

auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei ${}x=p$ verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Es sei also ${}\left(s_{n},\,x_{n}\right)$ eine Folge, die gegen

${}(s,x)=(s,p)\,$

konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass ${}x_{n}\neq p$ für alle ${}n$ ist, da ja ${}r(s_{n},p)=0$ ist. Es ist

${}{\begin{aligned}\vert {r(s_{n},x_{n})-r(s,p)}\vert &=\vert {r(s_{n},x_{n})}\vert \\&=\vert {{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .\end{aligned}}$

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem ${}n$ ein ${}c_{n}\in [x_{n},p]$ mit

${}{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})\,$

und somit ist der obige Ausdruck gleich

$\vert {{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .$

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen ${}c_{n}\rightarrow p$ wird dies beliebig klein.

In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über ${}[a,b]$ integrieren und erhält ($x-p$ ist in der Integration konstant)

$\int _{a}^{b}f(t,x)dt=\int _{a}^{b}f(t,p)dt+(x-p){\left(\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,p)dt\right)}+(x-p)\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,.$

Der Fehlerausdruck

${}R(x)=\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,$

ist stetig in ${}x$, da ${}r(t,x)$ stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist ${}R(p)=\int _{a}^{b}r(t,p)=0$, sodass die Funktion ${}x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt$ linear approximierbar und damit differenzierbar ist.

Zur bewiesenen Aussage