Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt

Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Es sei

$f\colon X\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto f(x,t),$

eine stetige Funktion.

Dann ist auch die Funktion

$X\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(x,t)\,dt,$

stetig.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen