Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt

Lemma von Fatou

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen