Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktionen ${}f=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}$ und ${}h_{n}=\inf {\left(f_{m},\,m\geq n\right)}$ sind nach Aufgabe bzw. Fakt messbar, und die Folge ${}h_{n}$ konvergiert nach Aufgabe wachsend gegen ${}f$. Wir können den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und erhalten

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}h_{n}\,d\mu \right)}\,.$

Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ ist wegen

${}h_{k}\leq f_{m}\,$

für alle ${}m\geq k$ auch

${}\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \int _{M}f_{m}\,d\mu \,$

für alle ${}m\geq k$ und damit

${}\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq k}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}=\operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq 0}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,,$

wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen.  Dies ergibt insgesamt die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage