Integritätsbereich/Endliche Gruppe/Charakter/Generisch trivial/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre ${}K$-Algebra, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ein Charakter und ${}R_{\chi }^{G}$ der zugehörige ${}R^{G}$-Modul der Semiinvarianten. Es sei ${}R_{\chi }^{G}\neq 0$ vorausgesetzt. Zeige, dass es einen ${}R^{G}$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon R^{G}\rightarrow R_{\chi }^{G}$ derart gibt, dass ${}\varphi$ nach Nenneraufnahme an einem Element ${}f\in R^{G}$, ${}f\neq 0$, ein Isomorphismus wird.

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