Intervall/Funktion/Rektifizierbarkeit/Beispiel

Die Rektifizierbarkeit ist schon für Funktionen

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

ein nicht-trivialer Begriff, siehe Beispiel. Wenn allerdings ${}f$ wachsend (oder fallend) ist, so lässt sich die Länge einfach ausrechnen. Zu einer beliebigen Unterteilung ${}a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k}=b$ ist dann nämlich

${}\sum _{i=1}^{k}\vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\vert =\sum _{i=1}^{k}(f(t_{i})-f(t_{i-1}))=f(b)-f(a)\,,$

d.h. die Länge ist einfach die Differenz der Werte an den Randpunkten des Intervalls. Insbesondere existiert die Länge, d.h. monotone Funktionen sind rektifizierbar. Wenn ${}f$ wachsend ist und stetig differenzierbar, so ergibt sich dies natürlich auch aus Fakt und aus Fakt. Wenn ${}f$ allerdings nicht monoton ist, so müssen bei der Längenberechnung auch die Richtungsänderungen mitberücksichtigt werden. Für das Integral ${}\int _{a}^{b}\vert {f'(t)}\vert \,dt$ gibt es dann keine direkte Berechnung, da ${}f'(t)$ das Vorzeichen ändert. Man kann aber das Intervall in (eventuell unendlich viele) Abschnitte unterteilen, wo die Funktion wachsend oder fallend, bzw. wo die Ableitung positiv oder negativ ist, und dann abschnittsweise die Länge berechnen.