Sei
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![{\displaystyle {}R=K[f_{1},\ldots ,f_{n}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5da44357679c371c46c1f7983946c92e381639c)
Nach Fakt
ist
eine
ganze Erweiterung.
Zu jedem
gibt es daher eine Ganzheitsgleichung
-
![{\displaystyle {}f_{i}^{n_{i}}+a_{i,n_{i}-1}f_{i}^{n_{i}-1}+\cdots +a_{i,1}f_{i}+a_{i,0}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb1f8e48507256f88682a754b8258563257a9d9)
mit
.
Wir betrachten die von den Koeffizienten
erzeugte
-Unteralgebra
von
, also
-
![{\displaystyle {}S:=K[a_{i,j},\,1\leq i\leq n,\,0\leq j<n_{i}]\subseteq R^{G}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7f20bfe89f82652fc3ab63e45093b25e53ea0b)
Dabei ist
endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über
formulierbar, d.h.
nach Fakt,
dass
auch über
ganz ist. Da
über
endlich erzeugt ist, ist
insbesondere über
endlich erzeugt, so dass
nach Fakt
sogar
endlich
ist. Da
noethersch
ist, muss
nach Fakt
auch die
-Unteralgebra
ein endlicher
-Modul sein. Damit ist insgesamt
eine endlich erzeugte
-Algebra.