Inverse trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Inverses Argument/Konstant/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung des Arkustangens ist nach Fakt gleich ${}{\frac {1}{1+x^{2}}}$. Daher ist

   ${}{\begin{aligned}f'(x)&={\left(\arctan x\right)}'+{\left(\arctan {\left(x^{-1}\right)}\right)}'\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}+{\frac {-x^{-2}}{1+{\left(x^{-1}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}+{\frac {-1}{1+x^{2}}}\\&=0,\end{aligned}}$

   wobei wir den rechten Summanden mit ${}x^{2}$ erweitert haben. Also ist ${}f$ konstant.
2. Wegen der Konstanz können wir den Wert an einer beliebigen Stelle ausrechnen. Es ist

   ${}f(1)=\arctan 1+\arctan {\left(1^{-1}\right)}=2\arctan 1\,.$

   Der Wert des Arkustangens an der Stelle ${}1$ ist ${}\pi /4$, also ist der konstante Wert gleich ${}\pi /2$.

Zur gelösten Aufgabe