Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt

Lemma von Schur

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ eine Gruppe und seien ${}V_{1},V_{2}$ zwei ${}K$-Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen ${}\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{1}\right)}$ und ${}\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{2}\right)}$. Es sei ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$

für alle ${}\sigma \in G$, wobei ${}\sigma _{i}$ den zu ${}\sigma$ gehörenden Automorphismus auf ${}V_{i}$ bezeichnet.

Dann ist ${}\varphi =0$ oder aber ${}\varphi$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen