Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\varphi \neq 0$. Wir müssen zeigen, dass ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist. Es sei ${}U:=\operatorname {kern} \varphi$. Nach Fakt ist ${}U$ ${}G$-invariant. Wegen der Irreduzibilität von ${}\rho _{1}$ ist ${}U=0$ oder ${}U=V_{1}$, wobei die zweite Möglichkeit wegen ${}\varphi \neq 0$ ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Fakt ${}\varphi$ injektiv. Es sei jetzt ${}W:=\operatorname {bild} \varphi$. Nach Fakt ist ${}W$ ebenfalls ${}G$-invariant. Der Fall ${}W=0$ ist wegen ${}\varphi \neq 0$ ausgeschlossen, also ist ${}W=V_{2}$ wegen der Irreduzibilität von ${}\rho _{2}$ und somit ist ${}\varphi$ auch surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage