Isometrie/Orthogonal bijektiv Determinante/Aufgabe/Lösung

Es sei eine Orthonormalbasis und . Nach Voraussetzung sind diese Vektoren und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei

die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch

gegebene lineare Abbildung . Diese ist nach Fakt (oder nach Aufgabe) eine Isometrie und hat Determinante oder . Wir schreiben

wobei die Form besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von ebenfalls oder . Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit und auch für . Es genügt somit zu zeigen, dass eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle betragsmäßig gleich sind. Nehmen wir an, dass es ein mit

gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist

und daher gibt es auch ein mit

Die Vektoren und sind wegen

orthogonal zueinander. Ihre Bilder und sind aber wegen

nicht orthogonal zueinander.