Selbstisometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.
3. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, ist auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, derart, dass auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.

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