Jacobi-Matrix/3/Inverse Matrix/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).$

1. Die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist

   ${\begin{pmatrix}2x&-3y^{2}&0\\z&\cos y&x\\0&z^{2}&2yz\end{pmatrix}}.$

2. Die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}2x&-3y^{2}&0\\z&\cos y&x\\0&z^{2}&2yz\end{pmatrix}}&=2x{\left(2yz\cos y-xz^{2}\right)}-z{\left(-6y^{3}z\right)}\\&=4xyz\cos y-2x^{2}z^{2}+6y^{3}z^{2}\\&=z{\left(4xy\cos y-2x^{2}z+6y^{3}z\right)}.\end{aligned}}$

3. Die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in ${}P=\left(1,\,0,\,1\right)$ ist ${}-2$. Daher ist das totale Differential in diesem Punkt invertierbar und nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es eine offene Umgebung von ${}P$, worauf ein Diffeomorphismus vorliegt.
4. Die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in ${}P$ ist

   ${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

   Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ in ${}\varphi (P)$ ist die inverse Matrix dazu. Das Invertierungsverfahren ergibt

   
   

   ${}{\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
   ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
   ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}$

   Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ist somit

   ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe