Jacobi-Matrix/3/Inverse Matrix/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Berechne die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
3. Begründe, dass ${}\varphi$ in einer offenen Umgebung des Punktes ${}P=\left(1,\,0,\,1\right)$ einen Diffeomorphismus beschreibt.
4. Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

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