K^2/Graduierung/Operation/Bahnen/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Seien ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd und

$K^{\times }\times K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(t,(x,y))\longmapsto \left(t^{a}x,\,t^{b}y\right),$

die zugehörige Operation der Einheitengruppe auf der Ebene ${}K^{2}$. Zeige, dass neben dem Nullpunkt die Bahnen der Operation die Form

$V{\left(cX^{b}-dY^{a}\right)}\setminus \{(0,0)\}$

haben, wobei ein Koeffizient ${}c$ oder ${}d$

als ${}1$ gewählt werden kann.

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