Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt/Beweis
Beweis
Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei eine primitive -te Einheitswurzel. Dies definiert einen Einsetzungshomomorphismus
![{\displaystyle \mathbb {Q} [X]/(X^{n}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b93a3f15d683fc7e80ed83138c9df42cdce7ba)
Somit gibt es nach Fakt einen induzierten Ringhomomorphismus
![{\displaystyle \mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{d}\right)}\longrightarrow K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d9849ce45b289728a1cb198f1ecaae0e4a274b)
mit einem Teiler von . Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus
![{\displaystyle \mathbb {Q} [X]/(X^{d}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5792aaafba226725ad543a2c7806b79d5eeb192)
Bei ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von . Also ist und es gibt einen Ringhomomorphismus
![{\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}\longrightarrow K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ebebaa1700af3b5744f14e2e846688b0aa470b)