Es sei die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit Elementen gibt. Es sei eine Transzendenzbasis und eine weitere Transzendenzbasis mit
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Elementen. Wir wenden
Fakt
sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen
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wobei die Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit Elementen
(es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von ).
Bei
würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist
.