Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit Elementen gibt. Es sei eine Transzendenzbasis und eine weitere Transzendenzbasis mit

Elementen. Wir wenden Fakt sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen

wobei die Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit Elementen (es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von ). Bei würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist .