Körper/Nullstellen auf Polynomkoeffizienten/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Bei ${}n=2$ handelt es sich wegen

   ${}{\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}=X^{2}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}X+\lambda _{1}\lambda _{2}\,$

   um die Abbildung

   $\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2}\right)\longmapsto \left(\lambda _{1}\lambda _{2},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}\right).$

2. Bei ${}n=3$ handelt es sich wegen

   ${}{\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}=X^{3}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}X^{2}+{\left(\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\right)}X-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\,$

   um die Abbildung

   $\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\right)\longmapsto \left(-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3},\,\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}\right).$

3. Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$ fixiert. Dann ist der Koeffizient ${}c_{k}$ des Polynoms ${}\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}$ aufgrund des Distributivgesetzes gleich

   $\pm \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n-k}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{n-k}},$

   wobei das Vorzeichen von der Parität von ${}n-k$ abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine polynomiale Abbildung vor.

4. Ein Tupel ${}\left(\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$, wenn

   ${}\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}=P\,$

   ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die ${}\lambda _{i}$ Nullstellen von ${}P$ sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.

5. Die Faser zu einem Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom ${}\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}$ nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
6. Die maximale Anzahl in einer Faser ist ${}n!$. Die Faser besteht aus den (geordneten) Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt (andernfalls ist die Faser leer). Da es maximal ${}n$ Nullstellen gibt, kann man höchstens ${}n!$ geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es ${}n$ verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau ${}n!$ geordnete Tupel bilden. Beispielsweise wird das Nullstellentupel ${}\left(1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right)$ auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
7. Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von ${}\varphi$.

Zur gelösten Aufgabe