Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass ${}M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien ${}x,y\in M$. Wir betrachten die von ${}x$ und ${}y$ erzeugte ${}K$-Unteralgebra ${}U=K[x,y]$, die aus allen ${}K$-Linearkombinationen der ${}x^{i}y^{j}$, ${}i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl ${}x$ als auch ${}y$ algebraisch sind, kann man nach Fakt gewisse Potenzen ${}x^{n}$ und ${}y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen ${}x^{i}y^{j}$, ${}i<n$, ${}j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Fakt wieder algebraisch. Für das Inverse sei ${}z\neq 0$ algebraisch. Dann ist ${}K[z]$ nach Fakt ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist ${}z^{-1}\in K[z]$ selbst algebraisch.

Zur bewiesenen Aussage