K-Algebra/Direkter Summand/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine von ${}0$ verschiedene ${}K$-Algebra. Dann ist ${}K$ ein direkter Summand von ${}A$. Dies beruht darauf, dass man die ${}1$ zu einer ${}K$-Basis von ${}A$ ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen erzeugten ${}K$-Untervektorraum ${}V\subset A$ ist dann ${}A\cong K\cdot 1\oplus V$. Im Allgemeinen muss es aber keinen ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}A\rightarrow K$ geben. Bei einer (nichttrivialen) Körpererweiterung ${}K\subset L$ gibt es keinen Ringhomomorphismus von ${}L$ nach ${}K$.