K-Spektrum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$ von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der ${}K$-Algebrahomomorphismen

$\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$

als das Spektrum von ${}R$. Es wird mit ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.

Die Elemente in einem ${}K$-Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit ${}P$, obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}R$ nach ${}K$. Für ein Ringelement ${}f\in R$ schreiben wir dann auch einfach ${}f(P)$ (statt $P(f)$) für den Wert von ${}f$ unter dem mit ${}P$ bezeichneten Ringhomomorphismus (es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind).

Das ${}K$-Spektrum wird wieder mit einer Zariski-Topologie versehen, wobei zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ (oder zu einer beliebigen Teilmenge aus ${}R$) die Teilmenge

${}V({\mathfrak {a}})={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\mid f(P)=0{\text{ für alle }}f\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe Aufgabe. Die komplementären offenen Mengen werden mit ${}D({\mathfrak {a}})$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen.

Dann stehen die ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach ${}K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$,

und zwar entspricht dem Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$. Mit anderen Worten,

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Beweis

Ein ${}K$-Algebrahomomorphismus ist stets durch ein ${}K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt. D.h. die Werte an den Variablen ${}X_{i}$ legen einen ${}K$-Algebrahomomorphismus von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach ${}K$ fest. Ein solcher Einsetzungshomomorphismus ist durch ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ definiert. Zugleich ist hier jede Vorgabe von Werten ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ erlaubt.

$\Box$

Beispiel

Das ${}K$-Spektrum zur ${}K$-Algebra ${}K$ besteht einfach aus einem Punkt, und zwar ist die Identität ${}K\rightarrow K$ der einzige ${}K$-Algebrahomomorphismus von ${}K$ nach ${}K$. Es gibt im Allgemeinen weitere Körperautomorphismen auf ${}K$, doch diese sind keine ${}K$-Algebrahomomorphismen.

Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem ${}K$-Spektrum von ${}R$ und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von ${}R$ herrührt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra mit ${}K$-Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Dann stiftet die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Beweis

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

$P\circ \varphi :K[X_{1},\ldots ,X_{n}]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\cong R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach ${}K$ definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist $a_{i}=P(\varphi (X_{i}))$).

Da der Homomorphismus ${}P\circ \varphi$ durch ${}R$ faktorisiert, wird das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ auf ${}0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt ${}P\circ \varphi =(a_{1},\ldots ,a_{n})$ liegt in ${}V({\mathfrak {a}})$, und es liegt eine Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Es seien dazu ${}P_{1},P_{2}\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene ${}K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein ${}K$-Algebrahomomorphismus auf einem ${}K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. ${}P_{1}\circ \varphi \neq P_{2}\circ \varphi$, und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$ vorgegeben. Der zugehörige ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$

annulliert daher jedes ${}F\in {\mathfrak {a}}$, sodass dieser Ringhomomorphismus durch ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für ${}G\in R$ und ein Urbild ${}{\tilde {G}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit Bildpunkt ${}{\tilde {P}}=P\circ \varphi \in V({\mathfrak {a}})$ gilt:

${}G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,$

sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.

$\Box$

Dieser Satz besagt also, dass man jedes ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra ${}R$ mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ identifizieren kann. Man spricht von einer abgeschlossenen Einbettung.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra mit zwei Restklassendarstellungen

$R\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,\,{\text{ und }}\,\,R\cong K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {b}}$

mit zugehörigen Nullstellengebilden ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$.

Dann sind die beiden Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})$ und ${}V({\mathfrak {b}})$ mit ihrer induzierten Zariski-Topologie homöomorph zueinander.

Beweis

Nach Fakt sind beide Nullstellengebilde homöomorph zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, sodass sie auch untereinander homöomorph sein müssen.

$\Box$