Kanonischer Ringhomomorphismus/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die ${}1$ auf die ${}1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Fakt genau einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass ${}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei ${}*$ hier die Multiplikation in ${}R$ bezeichnet. Dies folgt für ${}m,n\geq 0$ aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige ${}m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.

$\Box$

Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$.

Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Wichtige Ringe wie ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ besitzen die Charakteristik ${}0$, die Restklassenringe ${}d$ besitzen die Charakteristik ${}d$. Die Charakteristik ist die Ordnung des Elementes ${}1_{R}$ in der additiven Gruppe ${}(R,0,+)$ (allerdings entspricht die Ordnung ${}\infty$ der Charakteristik ${}0$). Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.