Kommutative Algebra/Alternierend/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Zu Teil 1: Aufgrund der Definition von alternierend gilt:

{}{\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}

Zu Teil 2: Da ${}\triangle$ multilinear ist, ist es linear in der r-ten Komponente:

{}{\begin{aligned}\Phi (v_{r}\mapsto v_{r}+(\alpha \cdot v_{s}))&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,\alpha \cdot v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\alpha \cdot \underbrace {\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})} _{=0}\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}

Zu Teil 3: Sei ${}v_{j}=\sum _{i=1,i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot v_{i}$ dann ist

{}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{j},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot \Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=0\,.