Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierende Abbildung/Permutationen/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt lässt sich ${}\sigma$ als Produkt von Transpositionen ${}\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ schreiben: ${}\sigma =\prod _{i=1}^{k}\tau _{i}$. In Fakt wurde bereits gezeigt, dass für Transpositionen ${}\tau \in S_{n}$

${}\psi (x_{\tau (1)},\ldots ,x_{\tau (n)})=-\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})=sgn(\tau )\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\,$

gilt.

Das führt für ${}\sigma$ durch induktives Anwenden zu folgendem Ergebnis:

${}{\begin{aligned}\psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})&=\psi (x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\operatorname {sgn} (\tau _{1})\cdot \psi (x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\prod _{i=1}^{k}\operatorname {sgn} (\tau _{i})\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Mit Fakt ergibt sich ${}\prod _{i=1}^{k}sgn(\tau _{i})=(-1)^{k}=sgn(\sigma )$ und damit die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage