Es sei eine
kommutative Gruppe
und eine
Primzahl.
Die
Torsionsuntergruppen
zur Ordnung stehen zueinander in der Beziehung
-
da ja aus
-
folgt, dass ein Element der Ordnung unter Multiplikation mit auf ein Element der Ordnung abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System
-
vor. Über dieses System kann man den
projektiven Limes
bilden. Er besteht aus Folgen mit
und mit
.
Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem auch Torsionselemente gibt.
Es seien
und
kommutative Gruppen
und sei eine
Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
- Ein
Gruppenhomomorphismus
induziert einen Homomorphismus
-
der zugehörigen -adischen
Tate-Moduln.
- Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus
-
vor.
- Die Abbildung
-
ist ein
Ringhomomorphismus
des
Endomorphismenringes
von in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.
Zu jedem
liegt ein Gruppenhomomorphismus
-
vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm
-
vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.
Nach
Aufgabe
ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung von und
der Homomorphismus aus
Fakt (1)
ist ein
-Modulhomomorphismus.