Kommutative Gruppe/Tate-Modul/Einführung/Textabschnitt

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Primzahl. Die Torsionsuntergruppen zur Ordnung stehen zueinander in der Beziehung

da ja aus

folgt, dass ein Element der Ordnung unter Multiplikation mit auf ein Element der Ordnung abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System

vor. Über dieses System kann man den projektiven Limes bilden. Er besteht aus Folgen mit und mit . Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem auch Torsionselemente gibt.


Es sei eine kommutative Gruppe und eine Primzahl. Unter dem -adischen Tate-Modul von versteht man die Gruppe

wobei die Torsionsuntergruppe der Ordnung bezeichnet.



Es seien und kommutative Gruppen und sei eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Ein Gruppenhomomorphismus induziert einen Homomorphismus

    der zugehörigen -adischen Tate-Moduln.

  2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

    vor.

  3. Die Abbildung

    ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Zu jedem liegt ein Gruppenhomomorphismus

vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm

vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.


Nach Aufgabe ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung von und der Homomorphismus aus Fakt  (1) ist ein -Modulhomomorphismus.