Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Kurze Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Dazu ist äquivalent, dass das Komplement der Einheitengruppe von ${}R$ abgeschlossen unter der Addition ist. Die einfachsten lokalen Ringe sind die Körper. Zu jedem lokalen Ring ${}R$ gehört der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$, den man den Restekörper von ${}R$ nennt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn macht.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

${}R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Wir zeigen, dass das Komplement von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also ${}q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${}{\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.

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