Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl ${}n$ der Modulerzeuger von ${}M$. Bei ${}n=0$ liegt der Nullmodul vor. Es sei ${}n=1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung ${}R\rightarrow M\cong R/{\mathfrak {a}}$. Nach Fakt ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist ${}M$ noethersch.

Es sei nun ${}n\geq 2$ und die Aussage für kleinere ${}n$ bereits bewiesen. Es sei ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$. Wir betrachten den durch ${}m_{1},\ldots ,m_{n-1}$ erzeugten ${}R$-Untermodul, den wir mit ${}M_{1}$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{1}=:M_{3}\longrightarrow 0.$

Hier wird der linke Modul von ${}n-1$ Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von ${}m_{n}$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Fakt ist dann ${}M$ noethersch.

Zur bewiesenen Aussage