Kommutative Ringtheorie/Radikale/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein ${}n\in \mathbb {N}$, so ist bereits ${}f\in {\mathfrak {a}}$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man die Menge

${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es wird mit ${}\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$ bezeichnet.

Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.

Dann ist das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal.

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. ${}0$ gehört offenbar zum Radikal und mit ${}f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$, sagen wir ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$, ist auch ${}(af)^{r}=a^{r}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$, also gehört ${}af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien ${}f,g\in \operatorname {rad} \,{\mathfrak {a}}$ mit ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$ und ${}g^{s}\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist

$(f+g)^{r+s}=\sum _{i+j=r+s}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}=\sum _{i+j=r+s,\,i<r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}+\sum _{i+j=r+s,\,i\geq r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}\in {\mathfrak {a}}\,.$

Es sei nun ${}f^{k}\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$. Dann ist ${}(f^{k})^{r}=f^{kr}\in {\mathfrak {a}}$, also ${}f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$.

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