Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Proposition  

Für einen kommutativen Ring sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist noethersch.
  2. Jede aufsteigende Idealkette

    wird stationär, d.h. es gibt ein mit .

Beweis  

(1) (2). Sei

eine aufsteigende Idealkette in . Wir betrachten die Vereinigung , die wieder ein Ideal in ist. Da noethersch ist, ist endlich erzeugt, d.h. . Da diese in der Vereinigung der Ideale liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein derart geben, dass liegt. Wegen

für muss hier Gleichheit gelten, so dass die Idealkette ab stationär ist.

(2) (1). Es sei ein Ideal in . Wir nehmen an, sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette , wobei die alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu

bereits konstruiert. Da endlich erzeugt ist, aber nicht, ist die Inklusion echt und es gibt ein Element

Dann setzt das Ideal die Idealkette echt aufsteigend fort.



Lemma  

Es sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch jeder Restklassenring noethersch.

Beweis  

Es sei ein Ideal und sei das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also . Die Restklassen dieser Erzeuger, also , bilden ein Idealerzeugendensystem von : Für ein Element gilt ja in und damit in .