Kommutativer Ring/Freier Modul/Ist projektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}F$ der freie Modul mit der Basis ${}e_{i}$, ${}i\in I$. Es sei ein surjektiver ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\longrightarrow B$

und ein Modulhomomorphismus

$\varphi \colon F\longrightarrow B$

vorgegeben. Zu jedem Element ${}\varphi (e_{i})$ gibt es ein Element ${}w_{i}$ mit ${}\theta (w_{i})=\varphi (e_{i})$. Nach dem Festlegungssatz für freie Moduln gibt es einen Modulhomomorphismus

$\psi \colon F\longrightarrow A$

mit

${}\psi (e_{i})=w_{i}\,,$

und ${}\psi$ hat die gewünschten Eigenschaften.

Zur bewiesenen Aussage