Kommutativer Ring/Ideale und Hauptideale/2/Einführung/Textabschnitt
Alle Vielfachen der , also , bilden ein Ideal im Sinne der folgenden Definition.
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
wobei eine endliche Teilmenge und ist.
Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.
Es sei ein kommutativer Ring und . Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Element ist ein Teiler von (also ), genau dann, wenn .
- ist eine Einheit genau dann, wenn .
- Ist ein Integritätsbereich, so gilt genau dann, wenn und assoziiert sind.
Beweis
Siehe
Aufgabe.
Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.