Kommutativer Ring/Ideale und Hauptideale/2/Einführung/Textabschnitt

Alle Vielfachen der , also , bilden ein Ideal im Sinne der folgenden Definition.


Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .


Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

wobei eine endliche Teilmenge und ist.


Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.


Es sei ein kommutativer Ring und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Element ist ein Teiler von (also ), genau dann, wenn .
  2. ist eine Einheit genau dann, wenn .
  3. Ist ein Integritätsbereich, so gilt genau dann, wenn und assoziiert sind.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.