Es sei zunächst projektiv. Da ein
Erzeugendensystem
, ,
besitzt, gibt es auch einen surjekiven
-Modulhomomorphismus
-
Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität
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zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus
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mit
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gibt. Dies bedeutet
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Wenn umgekehrt
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frei ist, ein
surjektiver
-Modulhomomorphismus
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und ein Modulhomomorphismus
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gegeben ist, so gibt es
nach Fakt,
angewendet auf
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einen Homomorphismus
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mit
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Die Einschränkung von auf hat wegen
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die gewünschten Eigenschaften.