Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst projektiv. Da ein Erzeugendensystem , , besitzt, gibt es auch einen surjekiven -Modulhomomorphismus

Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität

zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus

mit

gibt. Dies bedeutet

Wenn umgekehrt

frei ist, ein surjektiver -Modulhomomorphismus

und ein Modulhomomorphismus

gegeben ist, so gibt es nach Fakt, angewendet auf

einen Homomorphismus

mit

Die Einschränkung von auf hat wegen

die gewünschten Eigenschaften.