Kommutativer Ring/Quotientenkörper/Q bekannt/Textabschnitt

Bei der Konstruktion von aus betrachtet man die formalen Brüche

und identifiziert zwei Brüche und , wenn ist. Das gleiche Verfahren kann man für jeden Integritätsbereich anwenden und erhält dadurch einen Körper, in dem als Unterring enthalten ist.


Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Diese Definition ist etwas vage, gemein ist das folgende: Auf der Menge der Paare aus führt man eine Äquivalenzrelation ein, indem man

Die zugehörige Quotientenmenge ist dann der Quotientenkörper, also

Die Äquivalenzklasse zu schreibt man als . Man definiert dann durch , , spezielle Elemente in und durch

und

(wohldefinierte) Verknüpfungen, die zu einem kommutativen Ring machen. Bei gilt

und somit liegt ein Körper vor. Die Abbildung

ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Die wichtigsten Beispiele für einen Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen

und der Quotientenkörper des Polynomrings in einer Variablen über einem (Grund-)körper . Man bezeichnet ihn mit

und nennt ihn den Körper der rationalen Funktionen (über ).

Man kann auch Brüche von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion .


In der Tat definiert ein Bruch aus zwei Polynomen , , eine Funktion

wobei das Komplement der Nullstellenmenge von bezeichnet. Wie schon im Fall von Polynomen und den dadurch definierten polynomialen Funktionen muss man auch hier bei einem endlichen Grundkörper vorsichtig sein und darf nicht die formalen Brüche mit den dadurch definierten Funktionen gleichsetzen.Bei ist dies aber eine richtige und hilfreiche Vorstellung.

Die folgende Aussage kann man so verstehen, dass der Quotientenkörper der minimale Körper ist, in dem man einen Integritätsbereich als Unterring realisieren kann.


Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei

ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper .

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

mit

wobei die kanonische Einbettung

bezeichnet.

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss und damit sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für auch ist und ein Körper ist, gibt es . Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei , also . Dann ist auch und durch Multiplizieren mit der Einheit folgt

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist



Für die vorstehende Aussage ist die Injektivität der Abbildung wichtig. Beispielsweise gibt es für den Ringhomomorphismus keine Faktorisierung über , da es überhaupt keinen Ringhomomorphismus von in einen endlichen Restklassenring von gibt.