Kommutativer Ring/Quotientenkörper/Q bekannt/Textabschnitt
Bei der Konstruktion von aus betrachtet man die formalen Brüche
und identifiziert zwei Brüche und , wenn ist. Das gleiche Verfahren kann man für jeden Integritätsbereich anwenden und erhält dadurch einen Körper, in dem als Unterring enthalten ist.
Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Diese Definition ist etwas vage, gemein ist das folgende: Auf der Menge der Paare aus führt man eine Äquivalenzrelation ein, indem man
Die zugehörige Quotientenmenge ist dann der Quotientenkörper, also
Die Äquivalenzklasse zu schreibt man als . Man definiert dann durch , , spezielle Elemente in und durch
und
(wohldefinierte) Verknüpfungen, die zu einem kommutativen Ring machen. Bei gilt
und somit liegt ein Körper vor. Die Abbildung
ist ein injektiver Ringhomomorphismus.
Die wichtigsten Beispiele für einen Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen
und der Quotientenkörper des Polynomrings in einer Variablen über einem (Grund-)körper . Man bezeichnet ihn mit
und nennt ihn den Körper der rationalen Funktionen (über ).
In der Tat definiert ein Bruch aus zwei Polynomen
, ,
eine Funktion
wobei das Komplement der Nullstellenmenge von bezeichnet. Wie schon im Fall von Polynomen und den dadurch definierten polynomialen Funktionen muss man auch hier bei einem endlichen Grundkörper vorsichtig sein und darf nicht die formalen Brüche mit den dadurch definierten Funktionen gleichsetzen.Bei ist dies aber eine richtige und hilfreiche Vorstellung.
Die folgende Aussage kann man so verstehen, dass der Quotientenkörper der minimale Körper ist, in dem man einen Integritätsbereich als Unterring realisieren kann.
Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei
ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper .
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit
wobei die kanonische Einbettung
bezeichnet.
Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss und damit sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für auch ist und ein Körper ist, gibt es . Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei , also . Dann ist auch und durch Multiplizieren mit der Einheit folgt
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
Für die vorstehende Aussage ist die Injektivität der Abbildung
wichtig. Beispielsweise gibt es für den Ringhomomorphismus
keine Faktorisierung über , da es überhaupt keinen Ringhomomorphismus von in einen endlichen Restklassenring von gibt.