Kommutativer Ring/Teilbarkeitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1\,{|}\,a$ und ${}a\,{|}\,a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a\,{|}\,0$.
3. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,c$.
4. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$.
5. Gilt ${}a\,{|}\,b$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

Bemerkung  

Eine Einheit ist also ein Element, das die ${}1$ teilt. Das Element ${}v$ mit der Eigenschaft ${}uv=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${}w$ die Eigenschaft ${}uw=1$, so ist

${}v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.$

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${}v$ mit ${}uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${}u$ und bezeichnet es mit ${}u^{-1}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit ${}1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von ${}R$ nennt. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist ${}\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$ und ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }=\{1,3\}$. Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, siehe die nächste Vorlesung.

Definition

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Bemerkung  

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe.

Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. ${}-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass ${}1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die ${}1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.