Kommutativer Ring/Teilbarkeitstheorie/Fokus auf Z und KX/Textabschnitt
Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .
Beispielsweise ist ein Teiler von in , aber kein Teiler von . In ist ein Teiler von , aber nicht von .
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156a1899277cd3bf3b7edc239bc1abafd7339a7)
In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
- Für jedes Element gilt und .
- Für jedes Element gilt .
- Gilt und , so gilt auch .
- Gilt und , so gilt auch .
- Gilt , so gilt auch für jedes .
- Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .
Beweis
Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.
Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe.
In sind zwei Zahlen genau dann zueinander assoziiert, wenn ihr Betrag übereinstimmt, wenn sie also gleich oder negativ zueinander sind. Bei sind zwei Polynome genau dann zueinander assoziiert, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar , , ineinander übergehen. Durch diese Operation kann man erreichen, dass der Leitkoeffizient eins wird. Jedes Polynom ist also assoziiert zu einen normierten Polynom.
![{\displaystyle {}R=K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b50496860d93ccc94f4c23024c22f00d5bdf8fe)
Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.
In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
- Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
- Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
