Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt

Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem Monoid Sinn. In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge ${}G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit ${}1$. Zeige, dass ${}G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von ${}G$. Zeige, dass in ${}G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in ${}G$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element ${}0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge ${}M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ haben. Zeige, dass ${}M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von ${}M$. Zeige, dass in ${}M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in ${}M$ gilt.