Wir nehmen an, dass
nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass für kein
die Beziehung
für alle
erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes
ein Paar
mit
,
aber mit
.
Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von
Fakt
eine
Teilfolge
(dabei ist
unendlich)
von
, die gegen ein
konvergiert.
Die entsprechende Teilfolge
konvergiert ebenfalls gegen
. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen
und
gegen
. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da
ist.