Kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit/Exakte und geschlossene Differentialform/Nullstellen/Aufgabe/Lösung
- Eine exakte Differentialform kann man als
mit einer differenzierbaren Funktion
ansetzen. Wenn konstant ist, ist und die Aussage ist klar. Sei also nicht konstant. Nach Fakt nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten bzw. . Nach Aufgabe ist dann
- Wir betrachten auf der kompakten eindimensionalen Sphäre die Differentialform
Dies ist in der Tat eine Differentialform auf dem Kreis, da tangential zum Ortsvektor ist. Diese Form ist geschlossen, da wir in der Dimension sind. Sie hat keine Nullstelle, da auf dem Kreis nicht und gleichzeitig sind.