Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig, da diese zum trivialen Divisor gehört und da

nach Fakt ist.

Zu einem Punkt betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz

wobei die invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt ist und rechts die eindimensionale Wolkenkratzergarbe mit Träger bezeichnet, siehe Fakt. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ergibt

Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen den beiden invertierbaren Garben und , die sich um den Punkt „unterscheiden“. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist

da und gilt, da eine welke Garbe ist. Für die Dimensionen ergibt sich die Beziehung

wobei insbesondere beiden Kohomologien zu genau dann endlichdimensional sind, wenn dies für gilt. Wegen

ist nach Fakt

und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für , wenn sie für gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der riemannschen Fläche die Form zu einem Divisor besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.