Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig, da diese zum trivialen Divisor gehört und da
-
nach
Fakt
ist.
Zu einem Punkt
betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz
-
wobei
die invertierbare
Idealgarbe
zu dem Punkt ist und rechts die eindimensionale
Wolkenkratzergarbe
mit Träger bezeichnet, siehe
Fakt.
Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ergibt
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Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen den beiden invertierbaren Garben
und ,
die sich um den Punkt „unterscheiden“. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist
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da
und
gilt, da eine
welke Garbe
ist. Für die Dimensionen ergibt sich die Beziehung
-
wobei insbesondere beiden Kohomologien zu genau dann endlichdimensional sind, wenn dies für gilt. Wegen
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ist nach
Fakt
-
und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für , wenn sie für gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der riemannschen Fläche die Form zu einem
Divisor
besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.