Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 4

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Garbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem nicht zusammenhängenden Raum ${}X$ mit einer Zerlegung ${}X=U\uplus V$ in disjunkte nichtleere offene Mengen. Zeige ${}{\mathcal {G}}{\left(X\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer Zerlegung ${}X=Y\uplus Z$ in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}Y$ und ${}{\mathcal {H}}$ eine Garbe auf ${}Z$. Zeige, dass durch

${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\cap Y\right)}\times {\mathcal {H}}{\left(U\cap Z\right)}\,$

für ${}U\subseteq X$ eine Garbe auf ${}X$ definiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum mit zumindest zwei Punkten und es sei ${}M\neq \emptyset$. eine Menge. Zeige, dass die konstante Prägarbe zu ${}M$ keine Garbe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung einer Garbe auf eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eine Garbe ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Halm der Garbe der holomorphen Funktionen in ${}0\in {\mathbb {C} }$ gleich dem Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischen Raum ${}X$ und es sei ${}\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ surjektiv für jede offene Menge ${}U\subseteq X$. Zeige, dass dann auch jede Halmabbildung ${}\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\rightarrow {\mathcal {G}}_{P}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige ${}{\mathcal {G}}{\left(\emptyset \right)}=0$, also die triviale Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}P\in X$ ein Punkt und ${}G$ eine kommutative Gruppe. Wir betrachten die Zuordnung

$U\longmapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\begin{cases}G\,,{\text{ falls }}P\in U\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen ${}V\subseteq U$.

1. Zeige, dass ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
2. Bestimme den Halm von ${}{\mathcal {G}}$ im Punkt ${}P$.
3. Es sei nun ${}P$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt ${}Q\neq P$.

Die in der vorstehenden Aufgabe konstruierte Garbe nennt man Wolkenkratzergarbe (zu ${}G$ im Punkt ${}P$).