Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 5

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf ${}X$. Zeige, dass durch die Zuordnung

$U\mapsto \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}$

(die Produktmenge aus allen Halmen zu ${}U$) mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen Prägarbenhomomorphismus von ${}{\mathcal {F}}$ in diese Prägarbe gibt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${}{\mathcal {F}}$. Zeige, dass es zu jedem Prägarben-Morphismus

$\psi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

in eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ eine eindeutige Faktorisierung

${\tilde {\psi }}\colon {\widetilde {\mathcal {F}}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

gibt.

Die Vergarbung einer konstanten Prägarbe nennt man lokal konstante Garbe und manchmal auch einfach konstante Garbe.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine konstante Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$ zur Menge ${}M$. Zeige, dass der Halm der Vergarbung von ${}{\mathcal {F}}$ in jedem Punkt ${}P\in X$ gleich ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}X$ ein topologischer Raum. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die konstante Prägarbe auf ${}X$ zu ${}G$. Zeige, dass die Vergarbung von ${}{\mathcal {G}}$ gleich ${}C^{0}(-,G)$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ eine Untergarbe. Es sei ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit ${}t_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$ für alle ${}P\in X$. Zeige ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass durch ${}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}$ eine Garbe von Gruppen auf ${}X$ definiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi$ die Nullgarbe ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}\operatorname {bild} \varphi ={\mathcal {G}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ die Beziehung ${}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}_{P}=\operatorname {bild} {\left(\varphi _{P}\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ gegeben. Zeige, dass es einen kanonischen surjektiven Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen

${\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$

gibt.

Aufgabe

Es sei eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ gegeben, und es sei ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ die Quotientengarbe. Zeige

${}{\left({\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}_{P}={\mathcal {G}}_{P}/{\mathcal {F}}_{P}\,$

für jeden Punkt ${}P\in X$.