Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 6
Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung
heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.
Zeige, dass es bei einer Überlagerung zu jedem Punkt eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt.
Es seien und kommutative topologische Gruppen und es sei ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum eine kurze exakte Garbensequenz
vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.
Es sei eine stetige Abbildung, ein Punkt und eine Prägarbe auf . Zeige, dass der Halm der vorgeschobenen Prägarbe im Punkt gleich
ist.
Es sei einer stetige Abbildung und eine Garbe auf . Zeige, dass der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt gleich dem Halm von in ist.
Es sei eine Menge mit zwei Topologien und derart, dass die Identität
stetig ist, die erste Topologie ist also eine Verfeinerung der zweiten Topologie. Es sei eine Garbe auf und eine Garbe auf . Bestimme und . Wie sieht es aus, wenn die diskrete Topologie und die Klumpentopologie ist.
Es sei ein topologischer Raum und die konstante Abbildung. Es sei eine Garbe auf . Bestimme .
Es sei ein topologischer Raum und ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung . Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Beschreibe die Garbe auf den offenen Mengen von . Wie sehen die Halme von aus, wenn ein abgeschlossener Punkt ist?
Vergleiche auch Aufgabe 4.9
Es sei ein topologischer Raum und die konstante Abbildung. Es sei eine Garbe auf . Bestimme .
Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine Garbe auf . Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen
auf gibt.
Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine Garbe auf . Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen
auf gibt.
Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . Es sei eine Garbe auf und eine Garbe auf . Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Garbenmorphismen
auf und den Garbenmorphismen
auf gibt.
Es seien Mengen und
und
Abbildungen. Wir definieren
- Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm
gibt.
- Es sei eine weitere Menge und
und
Abbildungen mit
Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.
Es seien topologische Räume und
und
stetige Abbildungen. Wir definieren
mit der induzierten Topologie.
- Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm
mit stetigen Abbildungen gibt.
- Es sei ein weiterer topologischer Raum und
und
stetige Abbildungen mit
Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung
derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.
Es seien und topologische Räume und eine stetige Abbildung. Es sei ein Vektorbündel über . Zeige, dass (siehe Aufgabe 6.15) ein Vektorbündel über ist.
Es sei ein topologischer Raum und seien und Vektorbündel über . Zeige, dass (siehe Aufgabe 6.15) ein Vektorbündel über ist, das mit der direkten Summe von Vektorbündeln über übereinstimmt.
Es seien und topologische Räume und seien und stetige Abbildungen. Es sei
Zeige, dass ein stetiger Schnitt das gleiche ist wie eine stetige Abbildung mit .
Es seien und topologische Räume und seien und stetige Abbildungen. Es sei . Es sei die Garbe der stetigen Schnitte zu auf . Zeige, dass der Rückzug mit der Garbe der Schnitte zu übereinstimmt.
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