Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 7
Aufgabe
Zeige, dass jede offene Teilmenge eines beringten Raumes wieder ein beringter Raum ist.
Aufgabe
Es sei ein beringter Raum mit . Zeige, dass für jede offene Teilmenge ebenfalls ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und eine dichte offene Teilmenge. Zeige, dass die Restriktionsabbildung
injektiv ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und eine dichte offene Teilmenge. Zeige, dass die Restriktionsabbildung
nicht surjektiv sein muss.
Aufgabe
Es sei ein beringter Raum. Zeige, dass die Zuordnung, die einer offenen Teilmenge die Einheitengruppe des kommutativen Ringes zuordnet, eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
Diese Garbe bekommt einen eigenen Namen.
Zu einem beringten Raum nennt man die auf einer offenen Teilmenge durch
definierte Garbe die Einheitengarbe auf .
Aufgabe
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von Morphismen beringter Räume wieder ein Morphismus beringter Räume ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es seien und topologische Räume und eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Morphismus lokal beringter Räume induziert.
Aufgabe
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Morphismus lokal beringter Räume induziert.
Aufgabe
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die wir einerseits mit der Garbe der stetigen Funktionen und andererseits mit der Garbe der differenzierbaren Funktionen zu einem beringten Raum machen. Zeige, dass es einen Morphismus beringter Räume gibt, der topologisch die Identität ist, der aber kein Isomorphismus von beringten Räumen ist.
In den folgenden Aufgaben stehen lokale Ringe im Mittelpunkt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.
- hat genau ein maximales Ideal
- Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .
Aufgabe
Es sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.
Aufgabe *
Aufgabe
Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen. Zeige, dass der Restekörper in jedem Punkt von gleich ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen. Wir betrachten dies als einen abstrakten beringten Raum, d.h. wir vergessen, dass es sich um Funktionen handelt, aber wir kennen nach wie vor den topologischen Raum und die Ringe und ihre Restriktionsabbildungen. Lässt sich daraus die Bedeutung der Ringelemente als Funktionen rekonstruieren?
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen komplexwertigen Funktionen. Zeige, dass durch die Zuordnung
die topologisch die Identität ist, und jede Funktion auf einer offenen Menge in ihre komplex-konjugierte Funktion überführt, ein Automorphismus beringter Räume ist. Folgere, dass man aus der Kenntnis von als abstraktem beringten Raum nicht die Wirkungsweise der Ringelemente als Funktionen rekonstruieren kann.
Aufgabe
Es sei ein beringter Raum und . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- ist eine Einheit in .
- Es gibt eine offene Überdeckung derart, dass die Einschränkungen Einheiten sind.
- Der Keim ist eine Einheit für jeden Punkt .
Aufgabe
Es sei ein lokal beringter Raum. Zeige, dass durch
ein Monoidhomomorphismus zwischen dem multiplikativen Monoid des globalen Schnittringes und dem Monoid der offenen Teilmengen von (mit dem Durchschnitt als Verknüpfung) gegeben ist.
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