Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 7

Aufgabe

Zeige, dass jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eines beringten Raumes ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ wieder ein beringter Raum ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum mit ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=0$. Zeige, dass für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ebenfalls ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und ${}U\subseteq X$ eine dichte offene Teilmenge. Zeige, dass die Restriktionsabbildung

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{U},$

injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und ${}U\subseteq X$ eine dichte offene Teilmenge. Zeige, dass die Restriktionsabbildung

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{U},$

nicht surjektiv sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Zeige, dass die Zuordnung, die einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Einheitengruppe ${}{\left(\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}^{\times }$ des kommutativen Ringes ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ zuordnet, eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.

Diese Garbe bekommt einen eigenen Namen.

Zu einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man die auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ durch

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}:={\left(\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}^{\times }\,$

definierte Garbe die Einheitengarbe auf ${}X$.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von Morphismen beringter Räume wieder ein Morphismus beringter Räume ist.

Aufgabe

Zeige, dass zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ eines beringten Raumes ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Morphismus beringter Räume

$(U,{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U})\longrightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$

vorliegt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Morphismus lokal beringter Räume induziert.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Morphismus lokal beringter Räume induziert.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die wir einerseits mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C^{0}(-,\mathbb {R} )$ und andererseits mit der Garbe der differenzierbaren Funktionen ${}C^{1}(-,\mathbb {R} )$ zu einem beringten Raum machen. Zeige, dass es einen Morphismus beringter Räume ${}(M,C^{0}(-,\mathbb {R} ))\rightarrow (M,C^{1}(-,\mathbb {R} ))$ gibt, der topologisch die Identität ist, der aber kein Isomorphismus von beringten Räumen ist.

In den folgenden Aufgaben stehen lokale Ringe im Mittelpunkt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}R$ hat genau ein maximales Ideal
2. Die Menge der Nichteinheiten ${}R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die lokal sind.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen. Zeige, dass der Restekörper in jedem Punkt von ${}X$ gleich ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Identität ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen. Wir betrachten dies als einen abstrakten beringten Raum, d.h. wir vergessen, dass es sich um Funktionen handelt, aber wir kennen nach wie vor den topologischen Raum und die Ringe und ihre Restriktionsabbildungen. Lässt sich daraus die Bedeutung der Ringelemente als Funktionen rekonstruieren?

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen komplexwertigen Funktionen. Zeige, dass durch die Zuordnung

$(X,C^{0}(-,{\mathbb {C} }))\longrightarrow (X,C^{0}(-,{\mathbb {C} })),$

die topologisch die Identität ist, und jede Funktion auf einer offenen Menge in ihre komplex-konjugierte Funktion überführt, ein Automorphismus beringter Räume ist. Folgere, dass man aus der Kenntnis von ${}(X,C^{0}(-,{\mathbb {C} }))$ als abstraktem beringten Raum nicht die Wirkungsweise der Ringelemente als Funktionen rekonstruieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist eine Einheit in ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$.
2. Es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart, dass die Einschränkungen ${}s{|}_{U_{i}}$ Einheiten sind.
3. Der Keim ${}f_{P}\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ ist eine Einheit für jeden Punkt ${}P\in X$.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum. Zeige, dass durch

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \tau (X),\,f\longmapsto X_{f},$

ein Monoidhomomorphismus zwischen dem multiplikativen Monoid des globalen Schnittringes und dem Monoid der offenen Teilmengen von ${}M$ (mit dem Durchschnitt als Verknüpfung) gegeben ist.