Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 7

Beringte Räume

Definition

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.

Ein beringter Raum wird oft in der Form ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ angegeben, wobei ${}X$ der zugrunde liegende Raum ist und ${}{\mathcal {O}}_{X}$ die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die Strukturgarbe des beringten Raumes. Die Auswertung ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {O}}_{X}(U)$ nennt man auch den Schnittring zur offenen Menge ${}U\subseteq X$ und ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ den globalen Schnittring. Im Anschluss an Beispiel 3.9 bzw. Beispiel 3.10 haben wir die folgenden Standardbeispiele.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring und die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch ${}X$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ ist zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ durch

${}C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch ${}M$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ ist zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ durch

${}C^{1}(U,{\mathbb {C} })={\left\{f:U\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ holomorph}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch ${}M$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}X=\{P\}$ ein einpunktiger topologischer Raum. Dieser wird durch die Festlegung ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}):=R$ und ${}\Gamma (\emptyset ,{\mathcal {O}}_{X}):=0$ zu einem beringten Raum.

Definition

Zu einem Punkt ${}P\in X$ in einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt ${}P$.

Er wird mit ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ oder kurz mit ${}{\mathcal {O}}_{P}$ bezeichnet.

Morphismen von beringten Räumen

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge ${}V\subseteq Y$ der Ringhomomorphismus

$C^{0}(V,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\varphi ^{-1}(V),\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch ${}\varphi ^{*}f$. Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.

Definition

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$

zu jeder offenen Menge ${}V\subseteq Y$, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen ${}W\subseteq V\subseteq Y$ das Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{V}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{W}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(W),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ von beringten Räumen induziert für jeden Punkt ${}P\in X$ einen Ringhomomorphismus der Halme

${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P},$

wobei ein ${}f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$, das durch ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ mit einer offenen Umgebung ${}\varphi (P)\in V$ repräsentiert wird, auf den Keim von ${}\varphi ^{*}(f)\in \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$ abgebildet wird.

Definition

Ein Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus ${}\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$ (als Identität von beringten Räumen) gibt.

Verklebungsdaten für beringte Räume

Die folgende Konstruktion ist eine Erweiterung von Lemma 2.6.

Definition

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, ${}i\in I$, von beringten Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$

   von beringten Räumen (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$.)

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Homomorphismus von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Lemma

Es sei ein Verklebungsdatum ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, ${}i\in I$, für beringte Räume gegeben.

Dann gibt es einen beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$, eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ und Isomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ derart, dass

${}\psi _{i}{\left(U_{ij}\right)}=V_{i}\cap V_{j}\,$

ist und

${}\psi _{i}{|}_{U_{ij}}=\psi _{j}{|}_{U_{ji}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Beweis

Die Existenz eines zugrunde liegenden Raumes ${}X$ ergibt sich aus Lemma 2.6. Zu einer offenen Menge ${}W\subseteq X$ liegt eine Überdeckung

${}W=\bigcup _{i\in I}W\cap V_{i}\,$

vor und wir setzen

${}{\begin{aligned}\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{X})&:={\left\{(s_{i},i\in I)\mid s_{i}\in \Gamma (\psi _{i}^{-1}(W\cap V_{i}),{\mathcal {O}}_{U_{i}}),\,\varphi _{ji}{\left(s_{i}{|}_{\psi _{i}^{-1}(W)\cap U_{ij}}\right)}=s_{j}{|}_{\psi _{j}^{-1}(W)\cap U_{ji}}\right\}}\\\,\end{aligned}}$

Dies ist eine Garbe auf ${}X$ von kommutativen Ringen, die auf den ${}V_{i}$ über die ${}\psi _{i}$ mit den vorgegebenen Garben auf ${}U_{i}$ übereinstimmt.

$\Box$

Lokal beringte Räume

Definition

Ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Beispiel

Ein topologischer Raum ${}X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C^{0}(-,\mathbb {R} )$ ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt ${}P\in X$ und eine in einer offenen Umgebung von ${}x$ definierte stetige Funktion ${}f$ gilt ${}f(P)\neq 0$ genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der ${}f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${}{\mathcal {O}}_{P}$ lokale Ringe und ${}X$ ist lokal beringt.

Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper von ${}P$. Er wird mit ${}\kappa (P)$ bezeichnet.

Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach ${}\mathbb {R}$, siehe Aufgabe 7.16.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einem Punkt ${}x\in X$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$ nennt man den Wert von ${}f$ im Restekörper ${}\kappa (x)$ von ${}x$ die Auswertung von ${}f$ in ${}x$. Sie wird mit ${}f(x)$ bezeichnet.

IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ und jedem Punkt ${}P\in X$ die Äquivalenz ${}f(P)=0$ in ${}\kappa (P)$ genau dann, wenn ${}f_{P}\in {\mathfrak {m}}_{P}$ genau dann, wenn ${}f_{P}$ ist keine Einheit in ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$.

Definition

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von ${}X$ nach ${}Y$ ist ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen

$\varphi _{P}^{*}\colon {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$

für jeden Punkt ${}P\in X$ lokale Homomorphismen sind.

Der Invertierbarkeitsort

Lemma

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ist

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

offen.

Beweis

Zunächst ist ${}f(P)=0$ im Restekörper genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {m}}_{P}$ im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei ${}P\in X_{f}$. Dann ist ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt ${}g\in {\mathcal {O}}_{P}$ mit ${}gf=1$. Es gibt eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ mit (einem Repräsentanten)

${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

und eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}U'$ mit ${}fg=1$. Auf dieser offenen Umgebung ist somit ${}f$ invertierbar und es gilt ${}P\in U'\subseteq X_{f}$. Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass ${}X_{f}$ offen ist.

$\Box$

Die Menge der Punkte, für die ${}f$ als Element im Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht ${}0$ ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe Beispiel 11.17.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}f$.

Nach Aufgabe 7.20 ist ${}f$ in ${}\Gamma (X_{f},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit.

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ lokal beringte Räume und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume.

Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte zu ${}f\in \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ die Beziehung

${}\varphi ^{-1}(Y_{f})=X_{\varphi ^{*}f}\,.$

Beweis

Das Element ${}f$ ist in ${}\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})$ eine Einheit und der Ringhomomorphismus

$\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$

zeigt, dass ${}\varphi ^{*}f$ in ${}\Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit ist, was ${}\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\subseteq X_{\varphi ^{*}f}$ bedeutet. Für einen Punkt

${}P\in X_{\varphi ^{*}f}\,$

ist ${}{\varphi ^{*}f}$ eine Einheit im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$. Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$

muss auch ${}f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$ eine Einheit sein, was ${}\varphi (P)\in Y_{f}$ und damit

${}P\in \varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\,$

bedeutet.

$\Box$

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