Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 8

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in ${}R$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ ein Primideal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${}{\mathfrak {a}}\cap M=\emptyset$. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap M=\emptyset$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${}R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

$R_{\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})}\longrightarrow S_{\mathfrak {p}}$

(zwischen den Lokalisierungen) und

$\kappa {\left(\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\right)}\longrightarrow \kappa {\left({\mathfrak {p}}\right)}$

(zwischen den Restekörpern) gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {n}}_{R}$

eines kommutativen Ringes ${}R$ eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Es seien ${}R_{1}$ und ${}R_{2}$ kommutative Ringe mit dem Produktring ${}R=R_{1}\times R_{2}$. Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

$\operatorname {Spek} {\left(R_{1}\right)}\uplus \operatorname {Spek} {\left(R_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung ${}R\subseteq R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {R} [X]\subseteq {\mathbb {C} }[X]$.

Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem ${}{\mathbb {C} }$-Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}{\mathbb {C} }$- Algebra. Zeige, dass es auf dem ${}{\mathbb {C} }$- Spektrum ${}{\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine natürliche Topologie (oder komplexe Topologie) gibt, die im Falle des Polynomringes ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit der metrischen Topologie auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem ${}{\mathbb {C} }$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen endlich erzeugten ${}{\mathbb {C} }$-Algebren ${}R$ und ${}S$ die induzierte Abbildung

${\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

stetig in der natürlichen Topologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ beschränkt sind.

Aufgabe

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{k}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte ${}{\mathbb {C} }$- Algebrahomomorphismus

${\mathbb {C} }[Y_{1},\ldots ,Y_{k}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{j}\longmapsto F_{j},$

ganz ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung

${\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{k},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen ${}T\subseteq {\mathbb {C} }^{k}$ wieder beschränkt sind.

Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung ${}F$ eigentlich ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass ${}F$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {Q} [X]\subseteq \mathbb {R} [X]$. Welche sind endlich?

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung. Zeige, dass die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ in kanonischer Weise homöomorph zu ${}\operatorname {Spec} {\left(S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})\right)}$ ist.