Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 9


Bestimme diejenigen Unterringe von , die als Schnittringe auf und diejenigen Unterringe, die als Halme in auftreten.



Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?



Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.



Es sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die - Algebraisomorphie



Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist (im Spektrum von ).
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Es gibt mit
  5. Das Element teilt eine Potenz von .
  6. Es ist eine Einheit in .
  7. Es gibt einen - Algebrahomomorphismus .



Es sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.



Es sei ein Integritätsbereich und eine offene Teilmenge. Zeige

wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen wird.



Es sei ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jeder Zwischenring , , eine Nenneraufnahme ist.



Zeige, dass für die in Beispiel 9.6 betrachtete offene Menge gilt. Beschreibe die dort betrachtete Funktion mit dem Nenner .



Es sei ein faktorieller Integritätsbereich und ein maximales Ideal der Höhe . Zeige, dass die Restriktionsabbildung

bijektiv ist.



Finde zu auf definierte rationale Funktionen, die man nicht mit einem optimalen Nenner schreiben kann.



Es sei das Spektrum eines kommutativen Ringes und . Zeige, dass mit der Invertierbarkeitsort übereinstimmt.



Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen. Zeige, dass man die Spektrumsabbildung

in natürlicher Weise zu einem Morphismus lokal beringter Räume machen kann.



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